Lời giải:

Gọi PTTT đi qua $K(3;6)$ nên có dạng $(d):a(x-3)+b(y-6)=0(*)$ với $a^2+b^2\neq 0$
Gọi $I(1,2)$ là tâm đường tròn và $M$ là tiếp điểm của đường tiếp tuyến với đường tròn.

Ta có:

$IM=R=d(I,d)$

$\Leftrightarrow 3=\frac{|-2a-4b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\Rightarrow 5a^2-7b^2-16ab=0$

$\Rightarrow a=\frac{8+3\sqrt{11}}{5}b$ hoặc $a=\frac{8-3\sqrt{11}}{5}b$

Thay vô $(*)$ rồi rút gọn thì:

PTTT là:

$\frac{8+3\sqrt{11}}{5}x+y-\frac{54+9\sqrt{11}}{5}=0$

hoặc $\frac{8-3\sqrt{11}}{5}x+y-\frac{54-9\sqrt{11}}{5}=0$

 

\(y'=8x^3-8x\)

a. Đường thẳng \(x-48y+1=0\) có hệ số góc \(\dfrac{1}{48}\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k=-48\)

\(\Rightarrow8x^3-8x=-48\Rightarrow x^3-x+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2x+3\right)=0\Rightarrow x=-2\)

\(y'\left(-2\right)=47\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=-48\left(x+2\right)+47\)

b. Gọi tiếp điểm có hoành độ \(x_0\) 

Phương trình tiếp tuyến: \(y=\left(8x_0^3-8x_0\right)\left(x-x_0\right)+2x^4_0-4x^2_0-1\) (1)

Do tiếp tuyến qua A:

\(\Rightarrow-3=\left(8x_0^3-8x_0\right)\left(1-x_0\right)+2x_0^4-4x^2_0-1\)

\(\Leftrightarrow3x_0^4-4x_0^3-2x_0^2+4x_0-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)^2\left(3x_0^2+2x_0-1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=1\\x_0=-1\\x_0=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Có 3 tiếp tuyến thỏa mãn. Thay lần lượt các giá trị \(x_0\) bên trên vào (1) là được

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(N\left( {1;0} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IN}  = \left( {0;2} \right)\) làm vecto pháp tuyến là \(y = 0\).

Ta có \(y'=-4x^3-2x\)

a) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:y=\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}\)

Suy ra \(y'\left(x_0\right)=-6\Leftrightarrow2x_0^3+x_0^2-3=0\Leftrightarrow x_0=1\Rightarrow y_0=-3\)

Phương trình tiếp tuyến là \(y=-6x+3\)

 

b) Vì tuyến tuyến song song với đường thẳng \(y=6x+2\) nên ta có :

\(y'\left(x_0\right)=6\Leftrightarrow2x_0^3+x_0^2+3=0\Leftrightarrow\left(x_0+1\right)\left(2x_0^2-2x_0+3\right)=0\Rightarrow x_0=-1\Rightarrow y_0=-3\)

Nên ta có phương trình tiếp tuyến là :

                     \(y=6\left(x+1\right)-3=6x+3\)

Hàm số xác định với mọi \(x\ne1\). Ta có : \(y'=\frac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right);\left(x_0\ne1\right)\) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) :

\(\Delta:y=\frac{-4}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0+2}{x_0-1}\)

a) Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng -4 nên ta có :

\(\frac{4}{\left(x_0-1\right)^2}=-16\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=\frac{3}{2}\\x_0=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)

* \(x_0=\frac{3}{2}\Rightarrow y_0=10\Rightarrow\Delta=-16\left(x-\frac{3}{2}\right)+10\) hay \(y=-16x+22\)

* \(x_0=\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=-6\Rightarrow\Delta=-16\left(x-\frac{1}{2}\right)-6\) hay \(y=-16x+2\)

 b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : \(y=-4x+1\) nên ta có :\(y'\left(x_0\right)=-4\Leftrightarrow\frac{-4}{\left(x_0-1\right)^2}=-4\Leftrightarrow x_0=0;x_0=2\)* \(x_0=0\Rightarrow y_0=2\Rightarrow\Delta:y=-4x+2\)* \(x_0=2\Rightarrow y_0=6\Rightarrow\Delta:y=-4x+14\) c) Vì tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác \(y=\pm x\), do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(\pm1\) hay \(y'\left(x_0\right)=\pm1\) mà \(y'>0\), mọi \(x\ne1\) nên ta có :\(y'\left(x_0\right)=-1\Leftrightarrow\frac{-4}{\left(x_0-1\right)^2}=-1\Leftrightarrow x_0=-1;x_0=3\)* \(x_0=-1\Rightarrow y_0=0\Rightarrow\Delta:y=-x-1\)* \(x_0=3\Rightarrow y_0=4\Rightarrow\Delta:y=-x+7\)